什么是域？如时域、频域、拉氏域等

“域”本意是指一定范围内的地方，泛指某种范围。在处理问题时采用不同的角度，称为域，不同的域能提供不同的特性，如在数学领域，有实数域和复数域，实数域是由所有实数组成的集合，而复数域则是由所有形如 a+bi 的复数所组成的集合。二者之间有着密切的联系和互相依存的关系。实数域可以看作是复数域的一个子集，复数域可以看作是实数域在复平面上的延伸。在下面，我们要讲到的域中，也有这样的关系，如拉氏域与傅里叶域。

在信号处理领域，我们经常讲时域和频域。在振动噪声领域，除了时域与频域之外，还有角度域与阶次域和物理空间与模态空间等域。虽然有的名词后面带有“域”字，如时域、频域，表明它们是一个域，但像物理空间与模态空间，名词末没有“域”字，但它们仍然表明了一个范围领域，因此，它们也是一个域。在这里，让我们来介绍一下时域与频域、角度域与阶次域、拉氏域与傅里叶域、以及物理空间与模态空间等4对域，并谈谈它们之间的内在联系。

在这4对域中，有些域是真实存在的，如时域、角度域和物理空间，而有些域是为了方便数学处理而定义的域（也称为数学构造），如频域、阶次域、拉氏域与傅里叶域、模态空间等。各对域之间并没有实质性的不同，仅仅是形式不同而已。从一个域描述或者察看某些信息会比其他的域更容易、更便捷。比如，总的时域响应不能确定有多少阶模态对结构的响应有贡献，但是频域的总的频响函数就能清楚地显示有多少阶模态被激起和每一阶模态对应的频率是多少。另一方面，采用不同的域，在数学处理上也存在一些便捷性，如从拉氏域求解零点、极点时就比其他的域更容易。因此，我们经常将数据从一个域变换到另一个域，仅仅是因为数据更易于获得某些必要的信息、或更易于数学处理、或更易于解释某些问题等原因。

01 时域与频域

我们所处世界中的任何事物都是以时间贯穿其发展变化全过程的，长的如历史的演变、时代的变迁，短的如一天股市的走势、气温的变化等等。相同的道理，信号的变化也是随时间变化的，因此，我们在采集信号的时候，如采集加速度信号，能获得加速度的大小随时间的变化曲线，如图1所示，横轴为时间，信号的大小随时间变化，因而，可以说信号是时间的函数，或者说，我们可以从时间这个角度去跟踪信号，能获得信号的大小随时间变化的特性。因此，我们把从时间这个角度来观察信号的变化，称为时域，随时间变化的信号称为时域信号。故，时域是指以时间为变量的信号所在的域。

图1 加速度时域波形

对于频率单一的正弦波，我们从时域波形上能一眼看出信号的幅值和频率。如图2所示，可以看出幅值为1.0V，从0.5s内有5个周期，或者从相邻波峰的时间差的倒数可以计算出频率为10Hz。从0时刻的幅值大小（0.87V）可以推算出初相位为60度，至此，我们已经获得振动的全部三个要素：幅值、频率和相位。当然，对于简单信号可以获得这些信息，但要是复杂的信号，如图3所示的发动机顶部振动信号，从时域波形上得不出这些信息。

如图2 幅值为1.0V、频率为10Hz的正弦波

图3 发动机顶部Z向振动

这时，要从采集到的数字信号中获得这些信息，就需要用到傅里叶变换了。根据傅里叶变换理论，任何一个信号都可认为是一系列正弦波之和。对于一个单频正弦波而言，使用傅里叶级数中的一项（形如 Asin(ωt+φ))）就可以描述了，在频谱图中对应一条谱线。对信号按恒定的采样率进行采样，采样后的信号是有效的数字化的时域信号x(t) ，类似如图3所示。如果我们对这个时域信号 x(t)进行傅里叶分析，那么，能得到这个时域信号在不同频率处的频率分量，如图4所示，获得组成时域信号的每个单频信号的振动三要素（图4中未给出相位信息）。数字化后的时域信号是图中从时域观测到的信号，对这个时域信号进行傅里叶变换，相当是对这个时域信号进行分解，分解成一系列不同幅值、频率和相位的正弦波（或余弦波），图中的时域信号是4个正弦波的组合，每个正弦波使用一条谱线描述，因此，当从频谱图上观测时，可以看到，图示的信号有4条幅值不同的线状谱，对应图中间的4个正弦波的频率成分和幅值。

图4 FFT变换过程示意

通过FFT变换得到的频谱图横轴为频率，可以看出时域信号中包含的频率成分、幅值大小和相位信息（有的频谱不带相位信息），也就是振动三要素随频率变化的特性，此时，我们把从频率这个角度来观察信号的这些特性，称为频域。

FFT变换的核心思想就是把时域信号分解成一系列不同幅值、频率和相位的正弦波，因此，正弦函数是频域的基函数，频谱图中每条谱线代表一个正弦波，信号变换到频域并使用正弦波描述，会比仅仅在时域中能更快地得到答案。最简单的简谐振动就是正弦波的典型代表。

因此，有人这样说：我在时域，你在频域，绝对可基！

你越纯（频率分量单一），他越浪（接近正弦波）！

https://www.zhihu.com/question/53680970/answer/137552159

FFT变换过程完全是可逆的。也就是说，如果有时域信号  ，我们能通过FFT变换得到频域 x(t)。类似地，如果我们有频域信号 X(f)，也可以通过IFT（傅里叶逆变换）变换能得到时域信号 x(t)。有时，这个过程可以写成如下形式

因此，时域信号可变换到频域，频域信号也可变换到时域。FFT变换将信号从时域变换到频域，告诉我们信号具有哪些频率成分、以及其对应的幅值与相位信息。从时域上，我们可以看出信号的大小，但很难获得信号的频率成分、每个频率成分对应的幅值和相位，故，从频域描述或者察看这些信息会比时域更容易、更便捷。图2所示的时域信号的频谱如图5所示，正弦波的初相位为60度，余弦则为-30度。

图5 图2所示的频域结果

一个单频正弦波用傅里叶级数中的一项（一条谱线）就可以描述了。但是对于一些信号，比如矩形脉冲信号，傅里叶级数要包含很多项，才能近似这个信号，这是因为矩形脉冲信号不连续，不像平滑的正弦波。因此，需要多个傅里叶展开项（多条谱线）去近似明显不连续的信号。现实世界中，一些常见的信号实例如图7所示。

图6 各种不同的时域信号（左）和它对应的频域结果（右）

对于图6所示的信号，注意到方波和脉冲信号具有无穷的频率成分。这两个信号都有存在不连续或突然阶跃的情况。对于这种突然瞬间改变的信号，它具有无穷的频率成分，使用有限频率带宽的数据采集系统是很难重现它们的。在时域描述一个不连续的信号要求信号有无穷的频率成分，但实际情况是不可能采集到无穷的频率成分。信号采集系统只能采集一定频率范围内的信号，这将导致出现频率截断，频率截断会引起时域信号产生吉布斯现象。图7用不同数量的正弦波来描述方波信号，可以看出，随着正弦波数量的增加，叠加后的时域信号越来越接近方波信号，吉布斯现象越来越弱，振荡的幅值越来越小，持续时间越来越短，信号的斜率越来越陡峭。

图7 随着正弦波数目的增加，信号越接近方波

现实中，在描述一个时域信号时，经常有一些情况会少于理想数目的频率成分，这是由于测量系统不可能测量到无穷的频率带宽，总会出现频率截断造成的。因此，在对信号进行测量时，会因为频率截断而造成时域上的失真。

除了因频率截断造成时域上的失真之外，在将时域信号变换到频域时，会遭受泄漏；而在将频域信号变换到时域时，会遭受逆泄漏。因此，变换过程中会遭遇一些问题。时域简洁的信号，如脉冲信号，在频域频率成分复杂。因此，不同的域会展现出信号不同的特征。为了获得想要的信息，经常将信号从一个域变换到另一个域，即使在变换过程中存在这样或那样的问题。而从时域变换到频域是所有变换中最常用的。

02 角度域与阶次域

明白了时域，对于理解角度域是非常有帮助的。首先角度域是针对旋转机械而言的，只有旋转部件才会用到角度域，旋转部件每旋转一转，角度增加360度。并且时间与角度是有对应关系的，因此，可以将时域数据转换到角度域，前提条件是测量了转速信号。时域是真实存在的，同样的道理，角度域也是真实存在的。当我们将旋转部件的时域数据通过角度与时间的对应关系（转速可提供这个信息）转换到角度这个视角来观察数据，我们称之为角度域。此时信号是角度的函数，故，角度域是指以角度为变量的信号所在的域。

通常，时域信号是按等时间采样的，即采集相邻两个数据点之间的时间间隔是固定不变的。对于旋转机械而言，低转速时旋转一转所用的时间长，高转速时旋转一转所用的时间短。如果按等时间采集旋转机械的信号，则必然会出现低转速一转采集的数据点多，高转速一转采集的数据点少，如图8所示。高转速下每转数据点少则包含的信息量少，会对信号处理带来一系列问题，如信号混叠、泄漏严重造成频谱拖尾、高阶次不清晰等等。而角度域的数据则不会有这些问题，这是因为角度域的数据是按等角度采样的，能保证每转采样点数相同，如图9所示，相当于信号具有周期性质，从而可获得清晰的阶次谱图。

图8 等时间采样图

图9 等角度采样

为了保证每转采集相同的数据点，这要求采样频率随转速变化，以获得等角度采样数据（也称为同步数据），如图10所示，加速度信号的横轴是角度。由于等角度采样方式的采样频率始终与转速同步变化，二者有明确的关系，或者说采样频率与转速是同步的，因此，我们也将等角度采样称为同步采样。即等角度的采样频率与转速是同步的。在角度域，当每转采集M个数据点时，能得到最高阶次为M/2。

图10 角度域的加速度信号

由于等角度采样能保证每转采集相同的数据点，相当于信号具有周期性质，从而对角度域数据进行FFT变换时，满足变换的周期性要求。FFT变换得到的结果是幅值随阶次变化的函数，此时信号的横轴是阶次。因此，阶次域是指以阶次为变量的信号所在的域，如图11所示。或者说，阶次域是从阶次这个角度来查看信号的特征。

图11 加速度信号的阶次域结果

对于旋转机械的频谱分析而言，由于总是存在能量泄漏，导致进行阶次切片时，需要考虑一定的宽度，并且阶次越高，考虑的阶次宽度应越宽。而对于阶次域而言，阶次切片时只需要考虑阶次这一条谱线即可，无须考虑一定的阶次宽度，这是因为阶次谱不存在泄漏。这就体现了阶次谱的一个好处，即阶次谱中阶次提取的RMS值仅是一条阶次线，而如果频谱分析仅读取阶次频率对应的RMS值将导致阶次切片存在极大的误差。

对于普通的信号频谱分析而言，共振特性通常是我们常关心的，那么这个时候应该采用等时间采样，即使关心阶次，但在关心的阶次不高的情况下，仍可以使用等时间采样方式进行信号处理。由于等时间采样的信号处理在高阶次能量泄漏严重，泄漏的频率宽度正比例于阶次，因此，阶次越高，泄漏到邻近的谱线越多，频率越宽，将导致高阶次模糊不清，不能很好地区别出这些阶次成分，对于故障诊断是非常不利的，那么，这个时候应该使用等角度采样。另外，如果仅仅只关心阶次成分，不关心共振特性，建议使用等角度采样。

频谱分析在低转速时阶次分辨能力差，而阶次谱即使是转速改变速率快的情况下，低阶次也有很好的分辨能力。阶次谱对于分辨阶次功能是非常强大的，哪怕是高阶次，但对于分辨共振，作用有限，从阶次谱中很难直接识别出共振信息。而频谱分析对于共振问题非常有效。因此，对于共振问题的分析还是基于等时间采样的频谱分析。

03 拉氏域与傅里叶域

首先，要声明的是拉氏域与傅里叶域不是一对域，一对域是指二者之间能相互变换。而在这里，把它们放在一起，是因为二者是包含与被包含关系，即傅里叶域是拉氏域的子集。而它们都与时域是一对域，如从时域通过拉氏变换变换到拉氏域。

我们知道模态分析有两个方法：有限元法和试验法。有限元法采用特征值求解，求得模态参数，在这个过程中则用到拉普拉斯变换；而试验法计算频响函数，利用曲线拟合得到模态参数，在这个过程中则用到傅里叶变换。

有限元法利用有限元模型（FEM）近似弹簧-集中质量系统表征的物理系统。根据每个质量单元的力平衡，利用牛顿第二定律，我们可以写出每个质量（或自由度）的平衡方程去近似这个系统。因为有限元需要使用许多微单元去描述系统，那么就会存在多个方程和多个未知数。这样，使用矩阵描述所有的这些方程会变得很方便。一旦组装完所有方程，使用特征值求解，求得系统的频率和模态振型。不涉及具体细节，让我们大致描述这个过程，求解过程中需要将这些方程通过拉普拉斯变换（简称拉氏变换）到拉普拉斯域，简称拉氏域。将方程变换到拉氏域仅仅是因为在拉氏域方程更易于处理。在拉氏域，得到系统矩阵 [B(s)] 和它的逆矩阵 [H(s)] ，称为系统传递函数。我们知道这个逆矩阵等于系统矩阵的伴随矩阵（或者是系统矩阵的代数余子式）除以系统矩阵的行列式。利用拉氏变换是个了不起的处理！因为这个伴随矩阵包含模态向量，我们称它为留数矩阵，矩阵 [B(s)]的行列式包含方程的根，或者称为系统极点。这些基本信息与从分析模型中得到的相同。因此我们可以由分析模型或者由拉氏域描述方法确定系统的动力学特性，两者得到的结果相同。整个拉氏变换过程示意如图12中的顶部所示。

图12 拉氏变换与傅里叶变换示意图

通过拉氏变换得到系统的传递函数，让我以部分分式的形式写出

对于欠阻尼系统的传递函数的根或者极点可以写成

因为传递函数是复值函数，所以函数的根将是两个变量 σ 和 ω 的函数， σ 称为阻尼因子， ω  是频率，这两个变量分别为这个根的实部和虚部，也就是说复值变量 s 包含实部  σ（阻尼轴）和虚部 jω （频率轴）。复值函数可以用幅值与相位，或实部与虚部来描述。注意到这两个根为复数，因此传递函数的自变量取值为整个复平面。当我们从整个复平面（实部 σ 和虚部 jω ）角度来查看传递函数时，我们称这个域为拉氏域。之所以称为拉氏域是因为变换得到传递函数的方法是拉氏变换。

由于变量 s包含两个变量 σ 和 ω，因此，由实部 σ 和虚部 ω 组成的平面称为s-平面，如图13所示。经常用s-平面图表征根的位置，是根据实部（阻尼）和虚部（频率）来绘制的。对于固定的质量和刚度，阻尼增加，那么极点将移动到jω轴的左侧，有阻尼固有频率将减小。随着阻尼的增加，极点将在s-平面映射出一个圆形轨迹。随着阻尼接近临界阻尼，根和它的共轭接近 σ 轴。从原点到极点的向量长度（圆的半径）表示固有频率。

现在，让我们在复平面上绘出传递函数所对应的曲线图，该图将映射成一个曲面，因为函数是通过两个独立变量 σ  和 ω 定义的。因此， 如果我们保持  σ 不变，变化  ω ，然后逐渐改变 σ ，重新计算 ω 的范围，这时将产生一个复数值曲面。因为这些数值是复数，我们可以分别绘出它们的实部和虚部图，当然也可以绘出函数的幅值和相位图。用这4种形式来绘制这个曲面，用于描述系统的传递函数，如图14所示。

图14 系统传递函数

在复平面上，如果我们考虑在 s=0 时估计传递函数，也就是说传递函数沿频率 jω 轴估计，我们能得到系统传递函数的切片——频响函数。此时，变量 s 仅取纯虚数  jω  ，我们可以写出频响函数的表达式

如果我们对比传递函数和频响函数的表达式，会发现在传递函数中独立变量是  s（包含实部 σ 和虚部 jω ），而频响函数的独立变量是 jω ，函数 h 的值依赖于变量 jω 。如果我们考虑系统传递函数沿 jω 轴估计的幅值，并且将其投影到沿 jω 轴的切片平面上，那么我们将看到如图15所示的投影切片（黑色曲线）。而这正好是我们用FFT分析仪测量得到的曲线：频响函数。并且我们可以看出，这只有一个独立变量 jω 用于描述频响函数。同时，我们也注意到我们仅用一条曲线，而不是一个曲面来描述系统的频响函数。

图15 系统传递函数（幅值）和频响函数(黑色曲线)

至此，我们已经明白了频响函数由何而来，因此我们说频响函数是传递函数的子集，是传递函数沿频率轴的估计。传递函数的自变量是整个复平面，也就是拉氏域，而频响函数的自变量仅是虚轴，也就是沿频率轴变化，对应的是傅里叶域。因此，傅里叶域是拉氏域的一个子集，是实部为0的拉氏域，如图16所示。在傅里叶域，我们从仅复值频率变量来查看频响函数。

图16 拉氏域和傅里叶域

将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，得到横轴为频率的信号。同样，在测量频响函数时，也是通过傅里叶变换，由响应与激励计算出频响函数，只是，此时频响函数的横轴也是频率，而不是复值频率。这是因为解析法或拉氏变换得到传递函数是关于实轴（虚部为0）对称的，系统根也是一对共轭的复根，但对于频率而言，负值频率没有意义，因此，我们只关心正值频率，也就是从实频率轴上查看频响函数，而不是复频率轴。而在复平面上，整个傅里叶域是虚轴 jω ，这是由传递函数推导出频响函数时，变量取值为虚轴，因此，这个虚轴称为傅里叶域。但实际测量频响函数时，看的是频域，而不是虚轴的傅里叶域。

最后，我们来总结一下，拉氏域、傅里叶域和s-平面的关系。将拉氏域的系统传递函数沿虚轴（实部为0）的切片得到傅里叶域的频响函数。如果我们将系统传递函数的极点位置向下投影，则可查看s-平面。这个过程如图17所示。这个图说明了系统传递函数、频响函数和s-平面的内在关系。图中给出频响函数的正部分和负部分，但通常只展示频率的正部分。因此，得到的是频域的频响函数。

图17 拉氏域，s-平面和傅里叶域

04 物理空间与模态空间

物理空间是指我们生活中的现实世界，而模态空间是指用模态来表征的模态坐标空间。从数学角度上讲，对物理空间上的运动方程通过特征值求解和模态变换方程，将这组物理空间上耦合的方程进行解耦，解耦后的方程为一组单自由度系统的运动方程，此时转换后的新坐标系统，称为模态空间。

物理空间的结构可以用解析的集中质量模型或者有限元模型（如图18中顶部）来估算。这个模型通常用方程组进行估算，这些方程在一些不同的位置或不同自由度（DOF）之间存在相互作用或者耦合。这意味着如果你推动模型中的某一个自由度，那么其他自由度也会受到影响，并且产生运动。为了确定系统的响应行为，这些耦合意味着这些方程更为复杂。随着描述系统的方程数目变得越来越大，那么方程的复杂程度也就越来越高。通常在物理空间将描述系统特征的运动方程组用矩阵形式表示为

这里 [M] ， [C]  和  [K]  分别表示物理空间真实存在的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，连同相应的加速度向量、速度向量和位移向量以及外力向量一起组成运动方程。通常质量矩阵是对角阵，阻尼和刚度矩阵是带有非对角元素的对称阵，这些非对角元素表明了描述系统的不同方程或不同自由度之间的耦合程度，矩阵的大小由描述系统的方程总数决定。从数学角度讲，通过特征值求解和模态变换方程，将这组耦合的方程进行解耦，解耦后的方程为一组单自由度系统的运动方程，此时转换后的新坐标系统，称为模态空间，解耦后的模态质量、模态阻尼和模态刚度矩阵全为对角阵，如：

此时，模态质量、模态阻尼 和模态刚度 都是模态空间的物理量，而非物理空间。因此，我们可以看出模态转换是将方程从物理空间通过模态转换方程转换到模态空间的过程；是将一组复杂的、耦合的物理方程转换成一组解耦的单自由度系统的过程。因而，我们可以将图中的分析模型分解成一组单自由度系统，如图18中所示的蓝色1阶、红色2阶和绿色3阶。模态空间使得我们更易于用单自由度系统去描述结构系统。

图18 物理空间和模态空间

在物理空间上任一位置测量得到的响应实际上是当前结构所受的激励力所激起来的模态空间中的各阶模态在当前测量位置产生的响应的叠加。

05 各域之间的内在联系

让我们从一个简单的解释开始着手，不涉及太多的数学知识，用一个简单的示意图（图19）来解释。用这个图讨论时域、频域、拉氏域、傅里叶域、模态空间和物理空间之间的内在联系。

图19 每阶模态的物理模型、时域响应、FRF和SDOF模型

首先，让我们假设在悬臂梁的自由端受到一个脉冲激励。梁自由端的响应将包含系统所有模态的响应（图中用黑色表示时域响应），注意到这个响应是在一些不同频率处的响应。通过傅里叶变换，将梁自由端的时域响应从时域变换到频域。时域信号（包含输入和输出）变换到频域，其频域是频响函数FRF（图中用黑色绘出了频响函数），FRF的峰值对应于系统的固有频率。

在进一步讨论时域和频域图形之前，先说说图19左上角的物理模型。我们知道悬臂梁有许多阶固有频率，在每一阶固有频率处，结构都将以一种确定的模式发生变形，这种变形称作模态振型。对于这根梁的分析模型，我们可以通过拉氏变换得到系统的传递函数，然后特征值求解得到图中蓝色的第1阶弯曲模态，红色的第2阶弯曲模态，绿色的第3阶弯曲模态。当然，还有其他高阶模态没有给出，在这我们仅仅讨论前三阶模态，并且从前三阶模态可以很容易地延伸到高阶模态。

对这根梁进行实测，在图中用黑色表示时域和频域响应，也能提取到各阶模态。我们知道系统总响应来自各阶模态的贡献，图中黑色表示的总响应由1阶、2阶和3阶模态的响应组成。不管是在时域还是频域描述系统，这个结论总是成立的。每个域都是等价的，仅仅是从不同的角度去描述数据而已。所以我们可以看出系统总的时域响应是由各阶模态的时域响应所组成，即由1阶、2阶和3阶模态的时域响应贡献所组成。同样，系统总的频响函数也是由各阶模态的频响函数组成，即由1阶、2阶和3阶的频响函数组成（在这，仅仅给出了频响函数的幅值部分）。

既然我们可以将分析模型通过拉氏变换、特征值求解分解成一组单自由度系统，因而我们可以确定每个单自由度系统的频响函数，如图所示的1阶、2阶和3阶模态的频响函数。同样，也可以通过特解确定由脉冲引起的每个单自由度系统的时域响应，或由每个单自由度系统的FRF的傅里叶逆变换得到其时域响应。我们也可以在梁的自由端测量由脉冲引起的总响应，然后滤波得到系统每阶模态的时域响应，如1阶、2阶和3阶模态。

可以看出，可轻易地将每个单自由度的响应从时域变换到频域和从频域变换到时域。我们也可以看出，物理空间的物理模型可根据它在模态空间的模态来描述，这些模态是第1阶模态、第2阶模态和第3阶模态等等。如果我们能制作一个系统的分析模型，那么，我们能将物理空间耦合的系统分解到模态空间，变成一组单自由度模态振子。注意到，所有的时域-频域-模态空间信息是相互关联的。

通常我们在时域测量信号或在物理空间表征基本运动方程组，时域信号通过傅里叶变换到频域，频域通过傅里叶逆变换到时域。频域仅仅是随频率变化，是从实数的角度来考虑的。而傅里叶域是从复数的角度来考虑的，频率轴是以  为变量，注意是复数  与频率  的乘积，而频域仅考虑频率  。物理空间的运动方程组通过拉普拉斯变换到拉氏域，拉氏域通过拉氏逆变换到时域。而傅里叶域只是拉氏域的一个子集，当我们想由频响函数获得模态参数时，需要对频响函数进行曲线拟合得到模态参数：极点和留数，那么此时实际上是从频域变换（曲线拟合）到拉氏域。另一方面，时域用于表征发生的事件，在频域能表征事件的周期特点，而拉氏域用极点和留数来描述系统，三者的关系如图20所示。

图20 三个域之间的关系

以上各种域或空间：时域与频域、角度域与阶次域、拉氏域与傅立叶域、模态空间和物理空间并没有实质性的不同，仅仅是形式不同而已。每个域都是等价的，仅仅是从不同的角度去描述数据而已。如同货币一样，从一个国家到另一个国家，每个国家的货币看起来不相同，但是它们实质是同一个东西。然而，有时从一个域察看某些信息会比其他的域更容易、更便捷。比如，总的时域响应不能确定有多少阶模态对结构的响应有贡献，但是频域的总的频响函数就能清楚地显示有多少阶模态被激起和每一阶模态对应的频率是多少。因此，我们经常将数据从一个域变换到另一个域，仅仅是因为数据更易于解释某些问题或更便于数学求解，如对分析模型进行拉氏变换求解系统极点。

参考：

1.谭祥军.  从这里学NVH——噪声、振动、模态分析的入门与进阶（第二版），机械工业出版社，2021

2.Peter Avitabile. Modal Space – In Our Own Little World, 2014

3.谭祥军.  从这里学NVH——旋转机械NVH分析与TPA分析，机械工业出版社，2021

4.谭祥军.  模态试验实用技术——实践者指南，机械工业出版社，2019

本文转载自微信公众号文章 什么是域？如时域、频域、拉氏域等   by 谭祥军  模态空间

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/FOfVBYy_iMLnRNWA3c_J1A